Question

（2009•上海模擬）某同學在研究函數f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)時，分別給出下面幾個結論：
①等式f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立；
②若f（x₁）≠f（x₂），則一定有x₁≠x₂；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有兩個不等實數根；
④函數g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確結論的序號有

①②

．（請將你認為正確的結論的序號都填上）

Answer 1

分析：①因為f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)是奇函數，所以f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立；②可以定義證明f（x）為單調遞增函數，所以f（x₁）≠f（x₂），則一定有x₁≠x₂成立；③因為f（x）為單調遞增函數，所以方程|f（x）|=m不可能有兩個不等的實數根；④可以判斷g（x）為奇函數，并且g（x）在（-∞，0）上單調遞減，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上單調遞減，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函數g（x）=f（x）-x在R上只有一個零點．

解答：解：由題意知
①因為f(-x)=

-x

1+|-x|

=-(

x

1+|x|

)=-f(x)(x∈R)，所以f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)是奇函數，故f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立，即①正確；
②則當x＞0時，f（x）=

1

1+ 1 x

反比例函數的單調性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函數
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函數，從而f（x）為單調遞增函數，
所以f（x₁）≠f（x₂），則一定有x₁≠x₂成立，故命題錯誤；
③因為f（x）為單調遞增函數，所以|f（x）|為偶函數，因為f（x）在（0，+∞）為單調遞增函數，所以函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減，且0≤|f（x）|＜1，所以當0＜m＜1時有兩個不相等的實數根，當m≥1時不可能有兩個不等的實數根，故本命題錯誤；
④可以判斷g（x）為奇函數，并且g（x）在（-∞，0）上單調遞減，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上單調遞減，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函數g（x）=f（x）-x在R上有一個零點．錯誤
故答案為：①②．

點評：本題考查函數的定義域，單調性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮的．