Question

某同學在研究函數f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）時，給出了下面幾個結論：
①函數f（x）的值域為（-1，1）；②若f（x₁）=f（x₂），則恒有x₁=x₂；③f（x）在（-∞，0）上是減函數；
④若規定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N*恒成立，
上述結論中所有正確的結論是（　　）

A．②③

B．②④

C．①③

D．①②④

Answer 1

分析：根據題意，以此分析命題：①函數f（x）的值域為（-1，1），可由絕對值不等式的性質證明得；②可從反面考慮，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），可根據函數的解析式判斷出其是一個增函數，；③與②的判斷方法一樣；④由其形式知，此是一個與自然數有關的命題，故采用數學歸納法進行證明，即可得答案．

解答：解：①|x|＜1+|x|，故

x

1+|x|

∈(-1，1)，函數f（x）的值域為（-1，1），①正確；
②函數f(x)=

x

1+|x|

是一個奇函數，當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

，判斷知函數在（0，+∞）上是一個增函數，由奇函數的性質知，函數f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）是一個增函數，故若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），
從而有若f（x₁）=f（x₂），則恒有x₁=x₂；
此命題正確；
③由②已證f（x）在（-∞，0）上是增函數，故此命題不正確；
④當n=1，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f2(x)=

x 1+|x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

，
假設n=k時，fk(x)=

x

1+k|x|

成立，則n=k+1時，fk+1(x)=

x 1+k|x|

1+  |x| 1+k|x|

=

x

1+(k+1)|x|

成立，
由數學歸納法知，此命題正確．
故選D．

點評：本題考查帶絕對值的函數，函數的定義域，單調性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮的．