Question

【題目】設函數．

（1）當（為自然對數的底數）時，求的最小值；

（2）討論函數零點的個數．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可；

（2）令g（x）＝0，得到；設，通過討論m的范圍，根據函數的單調性結合函數的草圖求出函數的零點個數即可．

解：（1）當m＝e時，，∴

當x∈（0，e）時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是減函數；

當x∈（e，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；

∴當x＝e時，f（x）取最小值．

（2）∵函數，

令g（x）＝0，得；

設，則′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）

當x∈（0，1）時，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函數；

當x∈（1，+∞）時，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是減函數；

當x＝1是（x）的極值點，且是唯一極大值點，∴x＝1是（x）的最大值點；

∴（x）的最大值為，又（0）＝0結合y＝（x）的圖象，

可知：①當時，函數g（x）無零點；

②當時，函數g（x）有且只有一個零點；

③當時，函數g（x）有兩個零點；

④當m≤0時，函數g（x）有且只有一個零點；

綜上：當時，函數g（x）無零點；

當或m≤0時，函數g（x）有且只有一個零點；

當時，函數g（x）有且只有兩個零點；