Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）=ex ， 其中e是白然對數的底數，e=2.71828…
（I）若函數φ（x）=f（x）﹣求函數φ（x）的單調區間；
（Ⅱ）設直線l為函數f（x）的圖象上一點A（x0 ， f（x0）處的切線，證明：在區間（1，+∞）上存在唯一的x0 ， 使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）φ（x）=f（x）﹣=lnx﹣，φ′（x）=+，
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0，
∴函數φ（x）的單調遞增區間為（0，1）和（1，+∞）；
（Ⅱ）證明：∵f′（x）=，∴f′（x0）=，
∴切線l的方程為y﹣lnx0=（x﹣x0），
即y=x+lnx0﹣1，①
設直線l與曲線y=g（x）相切于點（x1 ， ），
∵g'（x）=ex ， ∴=，∴x1=﹣lnx0 ．
∴直線l也為y﹣=（x+lnx0），
即y=x++，②
由①②得lnx0﹣1=+，
∴lnx0=．
下證：在區間（1，+∞）上x0存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=lnx﹣在區間（1，+∞）上遞增．
又φ（e）=lne﹣=＜0，φ（e2）=lne2﹣=＞0，
結合零點存在性定理，說明方程φ（x）=0必在區間（e，e2）上有唯一的根，
這個根就是所求的唯一x0 ．
故結論成立．
【解析】（Ⅰ）求導函數，確定導數恒大于0，從而可得求函數φ （x）的單調區間；
（Ⅱ）先求直線l為函數的圖象上一點A（x0 ， f （x0））處的切線方程，再設直線l與曲線y=g（x）相切于點（x1 ， ），進而可得lnx0= ， 再證明在區間（1，+∞）上x0存在且唯一即可。