Question

【題目】如圖，點F1（﹣c，0），F2（c，0）分別是橢圓C： （a＞b＞0）的左右焦點，經過F1做x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F2作直線PF2垂線交直線 于點Q．
（Ⅰ）如果點Q的坐標是（4，4），求此時橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）將點P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 得
∴P
∵點Q的坐標是（4，4），PF2⊥QF2
∴
∵
∴a=2，c=1，b=
∴橢圓C的方程為 ；
（Ⅱ）證明：設Q ，∵PF2⊥QF2
∴
∴y2=2a
∴
∵P ，∴
∵ ，∴
∴y′=
∴當x=﹣c時，y′= =
∴直線PQ與橢圓C只有一個交點
【解析】（Ⅰ）將點P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 ，可求得P ，根據點Q的坐標是（4，4），PF1⊥QF2 ， 即可求得橢圓C的方程；（Ⅱ）利用PF1⊥QF2 ， 求得 ，從而可求 ，又 ，求導函數，可得x=﹣c時，y′= = ，故可知直線PQ與橢圓C只有一個交點．