Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知為三個不同的定點.以原點為圓心的圓與線段都相切.

（Ⅰ）求圓的方程及的值；

（Ⅱ）若直線與圓相交于兩點，且，求的值；

（Ⅲ）在直線上是否存在異于的定點，使得對圓上任意一點，都有為常數？若存在，求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）, ；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑求解；（Ⅱ）用坐標表示向量積，再聯立直線與圓方程，消元代入向量積求解；（Ⅲ）假設A、P的坐標，根據兩點距離公式與建立等式，再根據A、P分別滿足直線和圓的方程化簡等式，最后根據等式恒成立的條件求解.

（Ⅰ）由于圓與線段相切，所以半徑.

即圓的方程為.

又由題與線段相切，

所以線段方程為.即.

故直線的方程為.

由直線和圓相切可得：，

解得或.由于為不同的點，所以.

（Ⅱ）設，，則.

由可得，

，解得.所以.

故.

所以.所以.

故.

（Ⅲ）設.

則，.

若在直線上存在異于的定點，使得對圓上任意一點，

都有為常數,

等價于對圓上任意點恒成立.

即.

整理得.

因為點在直線上，所以.

由于在圓上，所以.

故對任意恒成立.

所以顯然，所以.

故，

因為，解得或.

當時，，此時重合，舍去.

當時，，

綜上，存在滿足條件的定點，此時.