Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，點在函數的圖象上運動，直線與函數的圖象不相交，求點到直線距離的最小值；

（Ⅱ）討論函數零點的個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）首先寫出函數的定義域，對函數求導，分析在什么情況下滿足距離最小，構造等量關系式，求解，得到對應的點的坐標，之后應用點到直線的距離公式進行求解即可；

（2）對函數求導，分情況討論函數的單調性，依次得出函數零點的個數.

（Ⅰ）的定義域為，.

由題意，令，即.解得或（舍去）.

∵，∴到直線的距離為所求的最小值.

（Ⅱ）法一：

（1）當時，，在上是增函數.

∵.當時，

∴，又，∴，故恰有一個零點.

（2）當時，，得（舍去），所以沒有零點.

（3）當時，令，得或（舍去）.

當時，，當時，.

∴在上是減函數，在上是增函數，.

①當，即時，恰有1個零點.

②當，即時，沒有零點.

③當，即時，.

令，則，.

令，，

∴在上單調遞增，∴，

∴，∴.

∵，，∴有2個零點.

綜上，函數當或時，有1個零點；當時，有2個零點；當時，沒有零點.

（Ⅱ）法二：若，則（且）.

設（且），.問題轉化為討論的圖象與直線交點的個數.

（且）.令得.

當或時，；當時，.

∴在，上是減函數，在上是增函數，.

又時.當時，.∴當或即或時，直線與函數的圖象有1個交點；當，即時，有兩個交點；當時沒有交點.

所以函數當或時有1個零點；

當時有2個零點；

當時沒有零點.