Question

已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判斷△ABC的形狀.

Answer 1

B=，△ABC是等邊三角形

方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,
∴2(2cos²B-1)-8cosB+5=0.
∴4cos²B-8cosB+3=0,
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=或cosB=（舍去）.∴cosB=.
∵0＜B＜,∴B=.
∵a，b，c成等差數列，∴a+c=2b.
∴cosB===，
化簡得a²+c²-2ac=0,解得a=c.
又∵B=，∴△ABC是等邊三角形.
方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0，
∴2（2cos²B-1）-8cosB+5=0.
∴4cos²B-8cosB+3=0，
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=或cosB=（舍去）.
∴cosB=,∵0＜B＜,∴B=,
∵a,b,c成等差數列，∴a+c=2b.
由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.
∴sinA+sin=，
∴sinA+sin-cos=.
化簡得sinA+cosA=,∴sin =1.
∴A+=,∴A=,
∴C=,∴△ABC為等邊三角形.