Question

【題目】設函數f（x）=x2﹣2tx+2，g（x）=ex﹣1+e﹣x+1 ， 且函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
（1）求函數f（x）在區間[0，4]上最大值；
（2）設 ，不等式h（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）設F（x）=f（x）+ag（x）﹣2有唯一零點，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 f（x）關于直線 x=1對稱，所以 t=1，

故 f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

所以，函數f（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，4]上單調遞增，

又f（0）=2，f（4）=10，所以當 x=4時，

即f（x）max=f（4）=10

所以 f（x）在區間[0，4]上的最大值為10

（2）解：由 ，可得h（x）=x+ ，

那么：h（2x）﹣k2x≥0可化得： ，

即1﹣2 +2 ≥k，

令 ，則2t2﹣2t+1≥k．

因x∈[﹣1，1]故t ，

記G（t）=2t2﹣2t+1，因為 t ，

故G（t）min=G（ ）= ，

所以的取值范圍是（ ]

（3）解：由題意得：F（x）=f（x）+ag（x）﹣2=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）

所以F（2﹣x）=（2﹣x）2﹣2（2﹣x）+a（ex﹣1+e﹣x+1）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）

故F（2﹣x）=F（x），

可知F（x）關于x=1對稱

因為F（x）有唯一的零點，所以F（x）的零點只能為x=1，

即 F（1）=12﹣2+a（e1﹣1+e﹣1+1）=0

解得 a= ．

a= 時，F（x）=x2﹣2x+ （ex﹣1+e﹣x+1）

令x1＞x2≥1，則x1﹣x2＞0x1+x2﹣2＞0， ，

從而可證F（x1）﹣F（x2）=（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）+ ＞0．

即函數F（x）是[1，+∞）上的增函數，

而F（1）=0，所以，函數F（x）只有唯一的零點，滿足條件．

故實數a的值為

【解析】(1)先判斷二次函數的對稱軸在指定的區間上，開口向上的二次函數離對稱軸越遠函數值越大故f（x）max=f（4）=10。（2）根據已知條件轉化h（x），化為基本不等式的形式求出最小值，整體思想令 t = ,根據x∈[﹣1，1]故t ∈ [ ， 2 ] ，由二次函數在指定區間上的最值可得結果。（3）由已知可得出F（x）關于x=1對稱故F（x）有唯一的零點，即F（x）的零點只能為x=1，令 F（1）=0求出a的值，再根據函數單調性的定義可證出函數F（x）是[1，+∞）上的增函數，進而得到 a= 滿足條件。