Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax+ ，其中a＞0．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）證明：（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e （n∈N* ， n≥2）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）= ，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，
記△=1﹣4a2 ， 當△≤0時，得a≥ ，
若a≥ ，則﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0，
此時函數f（x）在（0，+∞）遞減，
當0＜a＜ 時，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1= ，x2= ，
顯然x1＞x2＞0，故此時函數f（x）在（ ， ）遞增，
在（0， ）和（ ，+∞）遞減；
綜上，0＜a＜ 時，函數f（x）在（ ， ）遞增，
在（0， ）和（ ，+∞）遞減，
a≥ 時，函數f（x）在（0，+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：令a= ，由（Ⅰ）中討論可得函數f（x）在區間（0，+∞）遞減，
又f（1）=0，從而當x∈（1，+∞）時，有f（x）＜0，即lnx＜ x﹣ ，
令x=1+ （n≥2），
則ln（1+ ）＜ （1+ ）﹣ =
= （ + ）＜ = （ ﹣ ），
從而：ln（1+ ）+ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）
＜ （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ + ﹣ ）
= （1+ ﹣ ﹣ ）＜ （1+ ）= ，
則有ln（1+ ）+ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）＜ ，
可得（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e （n∈N* ， n≥2）
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出lnx＜ x﹣ ，令x=1+ （n≥2），得到ln（1+ ）＜ （ ﹣ ），累加即可證明結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．