Question

【題目】已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a、b、c成等比數列，c= bsinC﹣ccosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=2 ，求△ABC的周長和面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據題意，若c= bsinC﹣ccosB， 由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，
又由sinC≠0，則有1= sinC﹣cosB，
即1=2sin（B﹣ ），
則有B﹣ = 或B﹣ = ，即B= 或π（舍）
故B= ；
（Ⅱ）已知b=2 ，則b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=12，
又由a、b、c成等比數列，即b2=ac，
則有12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4 ，
所以△ABC的周長l=a+b+c=2 +4 =6 ，
面積S△ABC= acsinB= b2sinB=3
【解析】（Ⅰ）根據題意，由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，進而變形可得1= sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B﹣ ），即可得B﹣ 的值，計算可得B的值，即可得答案；（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比數列，進而可以變形為12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4 ，進而計算可得△ABC的周長l=a+b+c，由面積公式S△ABC= acsinB= b2sinB計算可得△ABC的面積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)．