Question

【題目】已知橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）若不過點的動直線與橢圓交于兩點，且,試探究：直線是否過定點，若是，求該定點的坐標，若不是，請說明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點.

【解析】

（1）由題意知直線的方程為， 由直線與圓相切，得進而求解方程。

（2）證法一：由知，設直線的方程為，直線的方程為.聯立，整理得，求解點，點，進而表示出直線方程求解。

（1）圓的圓心為，半徑

由題意知，，

直線的方程為，即，

由直線與圓相切，得，

解得，，

故橢圓的方程為.

（2）證法一：由知，從而直線與坐標軸不垂直，故可設直線的方程為，直線的方程為.

聯立，整理得，

解得或，故點的坐標為，

同理，點的坐標為，

∴直線的斜率為，

∴直線的方程為，

即.

所以直線過定點.

證法二：由，知，從而直線與軸不垂直，故可設直線的方程為，

聯立，整理得.

設，，則，，（*）

由得.

由，

得，

將（*）代入，得，

所以直線過定點.