Question

【題目】為了研究一種昆蟲的產卵數y和溫度x是否有關，現收集了7組觀測數據列于下表中，并做出了散點圖，發現樣本點并沒有分布在某個帶狀區域內，兩個變量并不呈現線性相關關系，現分別用模型① 與模型；② 作為產卵數y和溫度x的回歸方程來建立兩個變量之間的關系．

溫度x/°C	20	22	24	26	28	30	32
產卵數y/個	6	10	21	24	64	113	322
t=x2	400	484	576	676	784	900	1024
z=lny	1.79	2.30	3.04	3.18	4.16	4.73	5.77

26	692	80	3.57
1157.54	0.43	0.32	0.00012

其中 ， ，zi=lnyi ， ，
附：對于一組數據（μ1 ， ν1），（μ2 ， ν2），（μn ， νn），其回歸直線v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ，

（1）根據表中數據，分別建立兩個模型下y關于x的回歸方程；并在兩個模型下分別估計溫度為30°C時的產卵數．（C1 ， C2 ， C3 ， C4與估計值均精確到小數點后兩位）（參考數據：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）
（2）若模型①、②的相關指數計算分別為 ．，請根據相關指數判斷哪個模型的擬合效果更好．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于模型①：設t=x2，則 ，

其中 ，

；

所以y=0.43x2﹣217.56，

當x=30時，估計產卵數為

；

對于模型②：設z=lny，則lny=C3x+C4，

其中 ，

；

所以y=e0.32x﹣4.75，

當x=30時，估計產卵數為

；

（2）解：因為 ，

，

所以模型②的擬合效果更好．

【解析】（1）根據模型①，模型②求出回歸方程，計算x=30時估計產卵數即可；（2）根據相關指數的大小，即可比較模型擬合效果的優劣．