Question

【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界，已知函數．

（Ⅰ）若是奇函數，求的值．

（Ⅱ）當時，求函數在上的值域，判斷函數在上是否為有界函數，并說明理由．

（Ⅲ）若函數在上是以為上界的函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）是（3）或

【解析】試題分析：（1）根據奇函數定義得，解得的值（2）先分離得再根據單調性求值域，最后根據值域判定是否成立（3）轉化為不等式恒成立，再分離變量得最值，最后根據最值求實數的取值范圍．

試題解析：解：（ ）由是奇函數，則，

得，即，

∴， ．

（）當時， ．

∵，∴，∴，滿足．

∴在上為有界函數．

（）若函數在上是以為上界的有界函數，則有在上恒成立．

∴，

即，

∴，化簡得： ，

即，

上面不等式組對一切都成立，

故，

∴或．