Question

【題目】已知函數f（x）=ex ， 對于實數m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），則p的最大值等于 ．

Answer 1

【答案】2ln2﹣ln3
【解析】解：由f（x）=ex得：f（m+n）=f（m）f（n），
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
設f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
則f（m）、f（n）是x2﹣tx+t=0的解，
∵△=t2﹣4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）= =1+ （t≥4），
顯然t越大，f（p）越小，
∴當t=4時，f（p）取最大值 ，又f（p）=ep ，
∴f（p）取到最大值時，p也取到最大值，即pmax=ln =2ln2﹣ln3．
所以答案是：2ln2﹣ln3．