Question

【題目】若函數f（x）=x2+ax﹣ 在（ ，+∞）是增函數，則a的取值范圍（ ）
A.（﹣∞，3]
B.（﹣∞，﹣3]
C.[﹣3，+∞）
D.（﹣3，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由f（x）=x2+ax﹣ ，得f′（x）=2x+a+ = ， 令g（x）=2x3+ax2+1，
要使函數f（x）在（ ，+∞）是增函數，
則g（x）=2x3+ax2+1在x∈（ ，+∞）大于等于0恒成立，
g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），
① 當a≥0時，g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在（ ，+∞）單調遞增，
∴g（x）＞g（ ）= + ＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（ ，+∞）是增函數，滿足條件；
②當﹣ ≤a＜0時，3x+a≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（ ，+∞）單調遞增，
∴g（x）＞g（ ）= + ＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（ ，+∞）是增函數，滿足條件；
③a＜﹣ 時，令g′（x）＞0，解得：x＞﹣ ，令g′（x）＜0，解得： ＜x＜﹣ ，
∴g（x）在（ ，﹣ ）遞減，在（﹣ ，+∞）遞增，
∴g（x）min≥g（﹣ ）=2× +a +1≥0，
解得：a≥﹣3，此時f′（x）＞0，
∴f（x）在（ ，+∞）是增函數，滿足條件；
綜上：a≥﹣3；
所以答案是：[﹣3，+∞）．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．