Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱
（1）求b值；
（2）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+2bx+c

因?yàn)楹瘮?shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

所以﹣ =2，于是b=﹣6

（2）解：由（1）知，f（x）=x3﹣6x2+cx，

f′（x）=3x2﹣12x+c=3（x﹣2）2+c﹣12，

（ⅰ）當(dāng)c≥12時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）無極值．

（ii）當(dāng)c＜12時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)互異實(shí)根x1，x2．

不妨設(shè)x1＜x2，則x1＜2＜x2．

當(dāng)x＜x1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（﹣∞，x1）內(nèi)為增函數(shù)；

當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)為減函數(shù)；

當(dāng)x＞x2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（x2，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．

所以f（x）在x=x1處取極大值，在x=x2處取極小值．

因此，當(dāng)且僅當(dāng)c＜12時(shí)，函數(shù)f（x）在x=x2處存在唯一極小值，所以t=x2＞2．

于是g（t）的定義域?yàn)椋?，+∞）

【解析】（1）函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則求出f′（x）得到一個(gè)二次函數(shù)，利用x=﹣ =2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2，討論c的取值范圍求出g（t）的定義域和值域即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．