Question

【題目】設函數, 已知曲線y=f(x)

在處的切線與直線垂直。

(1) 求的值；

(2) 若對任意x≥1，都有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) b＝1(2) (，-－1)∪(－1，1)

【解析】試題分析：（1）求出函數導數，由兩直線垂直斜率之積為-1，解方程可得

（2）求出導數，對 討論，①若 ，則 ；②若

，則 ；③若 三種情況分別求出單調區間，可得最小值，解不等式即可得到所求范圍．

試題解析：(1)曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為2，所以f′(1)＝2，又f′(x)＝ln x＋＋1，即ln 1＋b＋1＝2，所以b＝1.

(2) g(x)的定義域為(0，＋∞)，

g′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1).

①若a≤，則≤1，故當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上單調遞增. 所以，對任意x≥1，都有g(x) ＞的充要條件為g(1) ＞，即－1＞，解得a＜－－1或－1 ＜a≤

②若＜a＜1，則＞1，故當x∈時，g′(x)＜0；當x∈時，g′(x)＞0.f(x)在上單調遞減，在上單調遞增.

所以，對任意x≥1，都有g(x) ＞的充要條件為g＞.而g＝aln＋＋＞在＜a＜1上恒成立，

所以＜a＜1

③若a＞1，g(x)在[1，＋∞)上遞減，不合題意。

綜上，a的取值范圍是(，－－1)∪(－1，1)