Question

【題目】為建立健全國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測(cè)評(píng)價(jià)機(jī)制，激勵(lì)學(xué)生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)（2014年修訂）》，要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級(jí)學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級(jí)開展了一次體質(zhì)健康模擬測(cè)試（健康指數(shù)滿分100分），并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)據(jù)，根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)這200名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）由頻率分布直方圖知，該市學(xué)生的健康指數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

①求；

②已知該市高三學(xué)生約有10000名，記體質(zhì)健康指數(shù)在區(qū)間的人數(shù)為，試求.

附：參考數(shù)據(jù)，

若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，,.

Answer 1

【答案】（1）75，135；（2）①；②.

【解析】

（1）以組中值代替小組平均值，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算平均數(shù)，根據(jù)方差公式計(jì)算；

（2）①利用正態(tài)分布的性質(zhì)求得；

②根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式得出．

（1）由頻率分布直方圖可知，各區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分布表如下：

分值區(qū)間
頻數(shù)	5	15	40	75	45	20

∴，

.

（2）①由（1）知服從正態(tài)分布，且，

∴.

②依題意，服從二項(xiàng)分布，即～，則.