Question

【題目】已知函數，，其中為實數．

（1）是否存在，使得？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由；

（2）若集合中恰有5個元素，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）時，；（2）．

【解析】

試題分析：（1），即，解得，所以時，；（2）有相異實根時，

，解得或．，當時，， 有解，不符合題意；當時，，結合函數的單調性和極值可知 有解，不符合題意；當時，，結合函數的單調性和極值可知有解時．

試題解析：

（1）

∴

∴時，

（2）有2相異實根時，

，∴或，有3個相異實根時，

當時，， =0有1解；

當時，，在上增，上減，上增，極大值，有1解；

當時，，在上增，上減，上增，極小值，要使有3解，只須，∴．

下面用反證法證明時，5個根相異．假設

即兩式相減得：

若代入②得0-1=0矛盾；若代入①得，這與矛盾．所以假設不成立，即5個根相異．綜上，．