Question

【題目】已知是定義在上的奇函數，且，若，時，有成立.

（Ⅰ）判斷在上的單調性，并證明；

（Ⅱ）解不等式；

（Ⅲ）若對所有的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）減函數（2）（3）或或.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據單調性定義，設，作差，由奇函數的定義化為，再利用已知條件得，從而得函數為減函數；

（Ⅱ）由減函數的定義得，但還要注意定義域，因此有；

（Ⅲ）題設不等式恒成立，即恒成立，在恒成立，作為的一次不等式，只要和時不等式成立即可．

試題解析：

（Ⅰ）在上是減函數，

任取且，則，

為奇函數，

，

由題知，，

，即，

在上單調遞減.

（Ⅱ）在上單調遞減，

，

解得不等式的解集為.

（Ⅲ），在上單調遞減，

在上，，

問題轉化為，即，對任意的恒成立，

令，即，對任意恒成立，

則由題知，解得或或.