Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓G：上，且橢圓的離心率為．

求橢圓G的方程；

若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，以AB為底做等腰三角形，頂點(diǎn)為，求的面積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ） 由條件可得方程組，解得，，所以橢圓的方程為. （Ⅱ）直線與橢圓弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題，一般利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式解決:本題關(guān)鍵轉(zhuǎn)化以為底作等腰三角形，頂點(diǎn)為為，其中中點(diǎn)為，這樣可得等量關(guān)系，利用韋達(dá)定理可得弦中點(diǎn)坐標(biāo)：，解得，進(jìn)而可得、兩點(diǎn)坐標(biāo)，以下就具體化了.

試題解析：解：（1）由題意可得，解得，，，

所以橢圓的方程為.

設(shè)直線的方程為，代入得……（*）

設(shè)， ，中點(diǎn)為，

則，，

因?yàn)?/span>為等腰的底邊，所以，

所以，解得，所以方程（*）為，

解得，，所以，，于是,

此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，

所以△的面積為.