Question

【題目】已知橢圓C的方程為，為橢圓C的左右焦點，離心率為，短軸長為2。

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，橢圓C的內接平行四邊形ABCD的一組對邊分別過橢圓的焦點，求該平行四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2) 2

【解析】

（1）由題意可得2b=2，結合橢圓的離心率，求得的值，得到橢圓的方程；

（2）求出直線AD與軸垂直時平行四邊形ABCD面積的值為，再設出AD所在直線斜率存在時的直線方程，聯立直線方程和橢圓方程，求出AD的長度，再求出兩平行線間的距離，代入平行四邊形面積公式，可得平行四邊形ABCD面積小于，從而求得結果.

（1）依題意得2b=2，，解得，

所以橢圓C的方程為。

（2）當AD所在直線與軸垂直時，則AD所在直線方程為x=1，

聯立，解得y=，

此時平行四邊形ABCD的面積S=2；

當AD所在的直線斜率存在時，設直線方程為y=k(x-1)，

聯立，得，

設A()D()，則，

則，

兩條平行線間的距離，則平行四邊形ABCD的面積，

令t=，

則S=，，

開口向下，關于單調遞減，則，

綜上所述，平行四邊形ABCD的面積的最大值為。