Question

【題目】

已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.

（1）求曲線的方程；

（2）曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點，以為直徑作圓，過點作圓的切線，切點為，試探究：當點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段的長度是否發生變化？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）.（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明見解析.

【解析】

試題（1）思路一：設為曲線上任意一點，

依題意可知曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，

得到曲線的方程為.

思路二：設為曲線上任意一點，

由，化簡即得.

（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：

由（1）知拋物線的方程為，

設，得，

應用導數的幾何意義，確定切線的斜率，進一步得切線的方程為.

由，得.

由，得.

根據，得圓心，半徑，

由弦長，半徑及圓心到直線的距離之關系，確定.

試題解析：解法一：（1）設為曲線上任意一點，

依題意，點S到的距離與它到直線的距離相等，

所以曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，

所以曲線的方程為.

（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：

由（1）知拋物線的方程為，

設，則，

由，得切線的斜率

，

所以切線的方程為，即.

由，得.

由，得.

又，所以圓心，

半徑，

.

所以點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變.

解法二：

（1）設為曲線上任意一點，

則，

依題意，點只能在直線的上方，所以，

所以，

化簡得，曲線的方程為.

（2）同解法一.