Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x+2﹣x ，
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
（3）若f（x）=52﹣x+3，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2x+2﹣x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

又f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），

∴f（x）為偶函數(shù)．

（2）證明：設(shè)x1，x2是（0，+∞）任意的兩個(gè)數(shù)且x1＜x2，

則

=

= ，

∵0＜x1＜x2，y=2x是增函數(shù)，

∴ ；

∴ ；

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)

（3）解：由題意可知，2x+2﹣x=52﹣x+3

令2x=t，（t＞0），則 ．

解得t=﹣1（舍去）或者t=4．

即2x=4，

∴x=2．

【解析】（1）先求f（x）的定義域，再判斷f（﹣x）與f（x）的關(guān)系即可；（2）先設(shè)x1 ， x2是（0，+∞）任意的兩個(gè)數(shù)且x1＜x2 ， 從而作差化簡(jiǎn) = ，從而判號(hào)即可；（3）由題意可知，2x+2﹣x=52﹣x+3，利用換元法令2x=t，（t＞0），從而得到 ，從而解出t，再求x．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．