Question

【題目】如圖，設拋物線的準線與軸交于橢圓的右焦點為的左焦點.橢圓的離心率為，拋物線與橢圓交于軸上方一點，連接并延長其交于點， 為上一動點，且在之間移動.

（1）當取最小值時，求和的方程；

（2）若的邊長恰好是三個連續的自然數，當面積取最大值時，求面積最大值以及此時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）的面積最大值為．此時．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的性質可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因為，則，設橢圓的標準方程為，聯立拋物線與橢圓的方程可得，得代入拋物線方程得，可得，可得直線與拋物線的方程，聯立得，求出點到直線的距離，結合面積公式可得最值.

試題解析：（1）因為，則，所以取最小值時，

此時拋物線，此時，所以橢圓的方程為；

（2）因為，則，設橢圓的標準方程為，

由得，所以或（舍去），代入拋物線方程得，即，

于是，又的邊長恰好是三個連續的自然數，所以．此時拋物線方程為， ，則直線的方程為．聯立，得或（舍去），于是．所以，

設到直線的距離為，則，當時， ，所以的面積最大值為．此時．