Question

已知.

（1）求函數在上的最小值；

（2）對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；

（3）設，則，

證得，當且僅當時取到，

從而對一切，都有成立.

【解析】

試題分析：（1）定義域為，，

當單調遞減，

當，單調遞增.                     2分

①無解；                                  3分

②，即時，

③，即時，在上單調遞增，

所以

（2），則，對一切恒成立

設，則

單調遞減，單調遞增     8分

在上，有唯一極小值，即為最小值.

所以，因為對一切恒成成立，

所以；                                          9分

（3）問題等價于證明，

由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到，

設，則，

易得，當且僅當時取到，                11分

從而對一切，都有成立.                   12分

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性及極值，不等式的證明。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）（3）涉及恒成立問題、不等式證明問題，均通過轉化成求函數的最值，這種思路是一般解法，在研究函數最值的過程中，再次利用導數。