Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）求得導(dǎo)數(shù)，把函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為存在唯一零點(diǎn)，只需，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合，求得，代入即可求解；

（2）轉(zhuǎn)化為成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解．

（1）由題意，函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以存在滿足，即，即，

令，可得；令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以存在唯一零點(diǎn)，只需，

由，

設(shè)，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，即，

將代入，即．

（2）由成立，即，

即成立，

令，則，

只需．

令，即，解得或；

令，即，解得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又由，可得，

所以，所以．