Question

【題目】已知函數，其中實數a為常數．

(I)當a=-l時，確定的單調區間：

(II)若f(x)在區間（e為自然對數的底數）上的最大值為-3，求a的值；

(Ⅲ)當a=-1時，證明．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)在區間上為增函數，在區間上為減函數.(Ⅱ). (Ⅲ) 見解析.

【解析】

試題(Ⅰ)通過求導數，時，時，，單調函數的單調區間.

(Ⅱ)遵循“求導數，求駐點，討論區間導數值正負，確定端點函數值，比較大小”等步驟，得到的方程.注意分①；②；③，等不同情況加以討論.

(Ⅲ) 根據函數結構特點，令，利用“導數法”，研究有最大值，根據, 得證.

試題解析：(Ⅰ)當時，,∴，又,所以

當時，在區間上為增函數，

當時，，在區間上為減函數，

即在區間上為增函數，在區間上為減函數.

(Ⅱ)∵，①若，∵,則在區間上恒成立，

在區間上為增函數，，∴，舍去;

②當時，∵，∴在區間上為增函數，

，∴，舍去;

③若，當時，在區間上為增函數，

當時，，在區間上為減函數，

，∴.

綜上.

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，當時，有最大值，最大值為，即，

所以，

令，則，

當時，，在區間上為增函數，

當時，，在區間上為減函數，

所以當時，有最大值，

所以,

即.