Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為，，為其右焦點，，且該橢圓的離心率為；

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點，交直線于點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與直線交于點．若，求取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，的坐標，結合橢圓離心率，及隱含條件列式求得，的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設直線，求得的坐標，再設直線，求出點的坐標，寫出的方程，聯立與，可求出的坐標，由，可得關于的函數式，由單調性可得取值范圍．

（Ⅰ），，，

，，

由，得，又，，

解得：，，．

橢圓的標準方程為；

（Ⅱ）設直線，則與直線的交點，

又，設直線，

聯立，消可得．

解得，，

聯立，得，，

直線，

聯立，解得，，

，

，，，

，

，

函數在上單調遞增，

，．