Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）記，當時，恒有，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：對任意，與在上有唯一公共點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）當時，恒有，等價于在上恒成立，只需求得在上的最大值，然后建立不等式求的取值范圍即可；

（Ⅱ）問題可轉化為證明在上具有單調性，先證在上單調遞增，令（），然后利用零點存在定理證有解即可．

（Ⅰ），

則，

則，

當時，恒成立，

在上單調遞增，

，

又在上恒成立，

，

解得；

（Ⅱ）問題可轉化為證明（）單調，而，

，

令，

，

當時，，當時，，

故，

在上恒成立，

故在上單調遞增，

令（），

因為，，

當時，，

所以當時，存在零點，即對任意，與在上至少有一個公共點，

再由在上單調遞增，得對任意，與在上至多有一個公共點，

綜上，對任意，與在上至少有一個公共點．