Question

【題目】2022年，將在北京和張家口兩個城市舉辦第24屆冬奧會．某中學為了普及奧運會知識和提高學生參加體育運動的積極性，舉行了一次奧運知識競賽．隨機抽取了30名學生的成績,繪成如圖所示的莖葉圖,若規定成績在75分以上(包括75分)的學生定義為甲組，成績在75分以下(不包括75分)定義為乙組．

(1)在這30名學生中,甲組學生中有男生7人，乙組學生中有女生12人，試問有沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關；

(2)①如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，那么至少有1人在甲組的概率是多少?

②用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地區所有的中學(人數很多)中隨機選取3人，用表示所選3人中甲組的人數,試寫出的分布列，并求出的數學期望．

附： ；其中

獨立性檢驗臨界表:

	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

Answer 1

【答案】（1）沒有90%的把握（2）①②

【解析】

（1）作出列聯表，由列聯表數據代入公式求出，從而得到沒有的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關；（2）①用表示“至少有1人在甲組”，利用對立事件概率計算公式能求出至少有1人在甲組的概率；②由題意知，，由此能求出的分布列，利用二項分布的期望公式可得數學期望.

(1)作出列聯表:

	甲組	乙組	合計
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計	12	18	30

由列聯表數據代入公式得，

故沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關．

(2) ①用A表示“至少有1人在甲組”，則．

②由題知，抽取的30名學生中有12名學生是甲組學生，抽取1名學生是甲組學生的頻率為，

那么從所有的中學生中抽取1名學生是甲組學生的概率是，

又因為所取總體數量較多，抽取3名學生可以看出3次獨立重復實驗，

的取值為0,1,2,3. 且

于是服從二項分布，即，

所以的數學期望為 ．