Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點M的極坐標(biāo)為（ ），過點M的直線l與曲線C相交于A，B兩點，若|MA|=2|MB|，求AB的弦長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）．

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4y=0，

∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ=0，

即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．

（2）解：設(shè)直線l的參數(shù)方程是 （θ為參數(shù)）①

曲線C的直角坐標(biāo)方程是x2+y2﹣4y=0，②

①②聯(lián)立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，

∴t1t2=﹣2，且|MA|=2|NB|，∴t1=﹣2t2，

則t1=2，t2=﹣1或t1=﹣2，t2=1，

∴|AB的弦長AB|=|t1﹣t2|=3．

【解析】（1）由曲線C的參數(shù)方程先求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程．（2）先求出直線l的參數(shù)方程，與曲線C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，由此能求出AB的弦長．