Question

【題目】已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2 ， 據統計，經過兩條路徑所用的時間互不影響，且經過L1與L2所用時間落在各時間段內的頻率分布直方圖分別如圖（1）和圖（2）．
現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于從A地到B地．
（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到B地，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
（2）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到B地的人數，針對（1）的選擇方案，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到B地”，

Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到B地”，i=1，2．

由頻率分布直方圖及頻率估計相應的概率可得：

P（A1）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，

P（A2）=（0.01+0.04）×10=0.5．

∵P（A1）＞P（A2），故甲應選擇L1．

P（B1）=（0.01+0.02+0.03+0.02）×10=0.8，

P（B2）=（0.01+0.04+0.04）×10=0.9．

∵P（B2）＞P（B1），故乙應選擇L2．

（2）解：用M，N分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到B地，

由（1）知P（M）=0.6，P（N）=0.9，又由題意知，M，N相互獨立，

∴P（X=0）=P（ ）=P（ ）P（ ）=0.4×0.1=0.04；

P（X=1）=P（ N+M ）=P（ ）P（N）+P（M）P（ ）

=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42；

P（X=2）=P（MN）=P（M）P（N）=0.6×0.9=0.54．

∴X的分布列為

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

∴E（X）=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．

【解析】（1）用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到B地”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到B地”，i=1，2．由頻率分布直方圖及頻率估計概率求出P（A1）＞P（A2），從而甲應選擇L1，P（B2）＞P（B1），從而乙應選擇L2．（2）用M，N分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到B地，P（M）=0.6，P（N）=0.9，M，N相互獨立，由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．