Question

【題目】已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．

(1)求圓C的方程；

(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且．

【解析】試題分析：（1）設出圓心坐標，根據直線與圓相切，得到圓心到直線的距離，確定出圓心坐標，即可得出圓方程；（2）當直線軸，則軸平分，當直線斜率存在時，設直線方程為，聯立圓與直線方程，消去得到關于的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，由若軸平分，則，求出的值，確定出此時坐標即可.

試題解析：(1)設圓心C(a，0) ，則或a＝－5(舍)，所以圓C：x2＋y2＝4.

(2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB，當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以， ，若x軸平分∠ANB，則 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，所以當點N為(4，0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．