Question

設x₁、x₂∈R，常數a＞0，定義運算“⊕”：x₁⊕x₂=（x₁+x₂）²，定義運算“?”：x₁?x₂=（x₁-x₂）²；對于兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定義d(AB)=

y1?y2

．
（1）若x≥0，求動點P（x，

(x⊕a)-(x?a)

） 的軌跡C；
（2）已知直線l1 ： y=

1

2

x+1與（1）中軌跡C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，若

(x1?x2)+(y1?y2)

=8

15

，試求a的值；
（3）在（2）中條件下，若直線l₂不過原點且與y軸交于點S，與x軸交于點T，并且與（1）中軌跡C交于不同的兩點P、Q，試求

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設y=

(x⊕a)-(x?a)

，根據新定義運算得出：y²=（x⊕a）-（x?a）=（x+a）²-（x-a）²=4ax，從而得出的軌跡方程即可；
（2）先將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用根據新定義運算即可求得a值，從而解決問題；
（3）根據新定義運算得到：d(AB)=

y1?y2

=|y1-y2|，從而

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

=

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

設直線l₂：x=my+c，分別過P、Q作PP₁⊥y軸，QQ₁⊥y軸，垂足分別為P₁、Q₁，有

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|PP1|

+

|OT|

|QQ1|

=

|c|

|xP|

+

|c|

|xQ|

．由

y2=8x x=my+c

先將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用基本不等式即可求得試求

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

的取值范圍．

解答：解：（1）設y=

(x⊕a)-(x?a)

，
則y²=（x⊕a）-（x?a）=（x+a）²-（x-a）²=4ax，
又由y=

(x⊕a)-(x?a)

≥0，
可得P（x，

(x⊕a)-(x?a)

） 的軌跡方程為y²=4ax（y≥0），軌跡C為頂點在原點，焦點為（a，0）的拋物線在x軸上及第一象限的內的部分；
（2）由已知可得

y2=4ax y= 1 2 x+1

，整理得x²+（4-16a）x+4=0，
由△=（4-16a）²-16=16²a²-8×16a≥0，得a≥

1

2

或a≤0．
∵a＞0，∴a≥

1

2

．
∴

(x1?x2)+(y1?y2)

=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+( x1-x2 2 )2

=

5

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

2

(4-16a)2-16

=8

15

，
解得a=2或a=-

1

2

（舍）．
（3）∵d(AB)=

y1?y2

=|y1-y2|，
∴

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

=

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

設直線l₂：x=my+c，
依題意m≠0，c≠0，則T（c，0）
分別過P、Q作PP₁⊥y軸，QQ₁⊥y軸，垂足分別為P₁、Q₁，
則

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|PP1|

+

|OT|

|QQ1|

=

|c|

|xP|

+

|c|

|xQ|

．
由

y2=8x x=my+c

消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0．
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|c|(

1

|xP|

+

1

|xQ|

)≥2|c|

1 xPxQ

=2|c|

1 c2

=2．
∵x_P、x_Q取不相等的正數，∴取等的條件不成立，
∴

|d(ST)|

|d(SP)|

+

|d(ST)|

|d(SQ)|

的取值范圍是（2，+∞）．

點評：本題抽象函數、新定義函數類型的概念，不等式的性質，放縮法的技巧，對于新定義類型問題，在解答時要先充分理解定義才能答題，避免盲目下筆，遇到困難才來重頭讀題，費時費力，另外要在充分抓住定義的基礎上，對式子的處理要靈活，各個式子的內在聯系要充分挖掘出來，可現有結論向上追溯，看看需要哪些條件才能得出結果，再來尋求轉化取得這些條件．屬中檔題．