Question

設x₁，x₂∈R，常數a＞0，定義運算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求動點P(x，

x*a

)的軌跡C的方程；
（2）若a=2，不過原點的直線l與x軸、y軸的交點分別為T，S，并且與（1）中的軌跡C交于不同的兩點P，Q，試求

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

的取值范圍；
（3）設P（x，y）是平面上的任意一點，定義d1(P)=

1

2

(x*x)+(y*y)

，d2(P)=

1

2

(x-a)*(x-a)

．若在（1）中的軌跡C存在不同的兩點A₁，A₂，使得d₁（A_i）=

a

d2(Ai)(i=1，2)成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）動點P(x，

x*a

)的軌跡C的方程即y=

x*a

，代入定義的運算，即可得軌跡C的方程
（2）由題意得y²=8x（y≥0），設直線l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，將S，T，P，Q的坐標代入

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

可知只需求x_p+x_q，x_p•x_q，將直線與曲線聯立后即可得x_p+x_q，x_p•x_q，代入即得

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

與m的函數關系，求范圍即可
（3）設A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），由定義d1(P)=

1

2

(x*x)+(y*y)

，d2(P)=

1

2

(x-a)*(x-a)

，分別計算
d₁（A₁），d₁（A₂），d₂（A₁），d₂（A₂），d₁（A_i）=

a

d2(Ai)(i=1，2)成立，可轉化為方程

x2+4ax

=

a

|x-a|在x∈[0，+∞）有兩個不等的實數解，利用韋達定理得到不等式組，即可求得實數a的取值范圍

解答：解：（1）設y=

x*a

=

(x+a)2-(x-a)2

=

4ax

∴動點P的軌跡C的方程為：y²=4ax（y≥0）
（2）由題意得y²=8x（y≥0），設直線l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
則T（c，0）．S，T，P，Q都在直線l上，∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=

|0-c|

|xP-0|

+

|0-c|

|xQ-0|

=|c|(

1

|xP|

+

1

|xQ|

)，由題得c＜0，x_P＞0，x_Q＞0∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=-c(

1

xP

+

1

xQ

)=

-c(xP+xQ)

xPxQ

由

y2=8x x=my+c

消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0
∴

△=32m2(2m2+c)＞0 xP+xQ=2c+8m2＞0 xPxQ=c2＞0

∵c＜0，∴m2＞-

1

2

c∴

m2

c

＜-

1

2

∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=2-

8m2

c

＞2，

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

的取值范圍是（2，+∞）
（3）由d1(P)=

1

2

(x*x)+(y*y)

=

x2+y2

，d₂（P）=|x-a|
設A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），由已知有

x 2 1 + y 2 1

=

a

|x1-a|，

x 2 2 + y 2 2

=

a

|x2-a|
故方程

x2+4ax

=

a

|x-a|在x∈[0，+∞）有兩個不等的實數解
整理得（a-1）x²-（2a²+4a）x+a³=0在x∈[0，+∞）有兩個不等的實數解∴

△=(2a2+4a)2-4a3(a-1)＞0 x1+x2= 2a2+4a a-1 ＞0 x1x2= a3 a-1 ≥0

又∵a＞0，∴a＞1
故實數a的取值范圍是（1，+∞）

點評：本題綜合考查了軌跡問題，直線與曲線的位置關系，一元二次方程根的分布等知識，需要有很強的理解力和運算力才可順利求解，屬難題