Question

【題目】如圖，是邊長為的正方形，是的中點，點沿著路徑在正方形邊上運動所經過的路程為，的面積為.

（1）求的解析式及定義域；

（2）求面積的最大值及此時點位置.

Answer 1

【答案】（1），函數的定義域為；

（2）面積的最大值為，此時點與點重合.

【解析】

（1）分點在線段（不包括點、）、（不包括點）、（不包括點），即對分、、三種情況討論，計算出關于的表達式，即可得出函數的解析式，并求出該函數的定義域；

（2）分段求出函數的每支函數的最大值，比較大小后得出函數的最大值，并求出對應的的值，即可得出對應的點的位置.

（1）①當點在線段（不包括點）時，，則，的高為，

此時，；

②當點在線段（不包括點）時，，，

的面積為，

的面積為，

直角梯形的面積為，

此時，的面積；

③當點在線段（不包括點）時，，的高為，

此時，.

綜上所述，，函數的定義域為；

（2）當時，，此時，函數單調遞增，則；

當時，，此時，函數單調遞減，則；

當時，，此時，函數單調遞減，則.

綜上所述，當時，函數取得最大值，即.

因此，當點與點重合時，的面積取到最大值.