Question

【題目】某工廠生產甲、乙兩種產品所得的利潤分別為和（萬元），事先根據相關資料得出它們與投入資金（萬元）的數據分別如下表和圖所示：其中已知甲的利潤模型為，乙的利潤模型為．（為參數，且）.

（1）請根據下表與圖中數據，分別求出甲、乙兩種產品所得的利潤與投入資金（萬元）的函數模型

（2）今將萬資金投入生產甲、乙兩種產品，并要求對甲、乙兩種產品的投入資金都不低于萬元．設對乙種產品投入資金（萬元），并設總利潤為（萬元），如何分配投入資金，才能使總利潤最大？并求出最大總利潤．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當甲產品投入萬元，乙產品投入萬元時，總利潤最大為萬元

【解析】

（1）根據題意,將數據分別代入甲、乙兩種產品所得的利潤與投入資金（萬元）的函數模型中,解方程組,即可求出函數表達式.

（2）根據題意,設對乙種產品投資,對甲種產品投資,代入兩個利潤公式,利用換元法求出函數的值域,然后求最大值即可.

解：（1）由甲的數據表結合模型代入兩點可得

代入有

得,

即

由乙的數據圖結合模型代入三個點可得,,可得

,

得,,

即

（2）根據題意,對乙種產品投資（萬元）,對甲種產品投資（萬元）,

那么總利潤,

由,解得,

所以,

令,,故,

則,

所以當時,即時,,

答：當甲產品投入萬元,乙產品投入萬元時,總利潤最大為萬元