Question

【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形, 平面,,點是上的點,且 .

（1）求證:對任意的 ,都有.

（2）設二面角C-AE-D的大小為 ,直線BE與平面所成的角為 ,

若,求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）因為SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理只要證AC

⊥BD即可．（2）先找出θ計算出cosθ,再找到，求出點O到BE的距離，再求出sin,解

方程得到的值.

（1）證明：連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE

（2）解：由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，

∵SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴SD⊥CD．

又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．

連接AE、CE，過點D在平面SAD內作DF⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，

故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD=θ．

在Rt△ADE中，∵AD=a，DE=λa∴AE=a

從而DF==

在Rt△CDF中，tanθ==,所以.

過點B作EO的垂線BG，因為AC⊥平面BDE,所以AC⊥BG,

所以∠BEO就是直線BE與平面所成的角，

設點O到BE的距離為h,則由等面積得

所以，

因為,

所以.