Question

【題目】已知定義域為{x|x≠0}的偶函數f（x），其導函數為f′（x），對任意正實數x滿足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x2f（x），則不等式g（x）＜g（1﹣x）的解集是（ ）
A.（ ，+∞）
B.（﹣∞， ）
C.（﹣∞，0）∪（0， ）
D.（0， ）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）是定義域為{x|x≠0}的偶函數，
∴f（﹣x）=f（x）．
對任意正實數x滿足xf′（x）＞﹣2f（x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
∵g（x）=x2f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．
∴函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴g（x）在（﹣∞，0）遞減；
由不等式g（x）＜g（1﹣x），
∴ 或 ，
解得：0＜x＜ ，或x＜0
∴不等式g（x）＜g（1﹣x）的解集為：{x|0＜x＜ 或x＜0}．
故選：C．
【考點精析】利用導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．