Question

【題目】已知四棱錐中，底面為菱形，，平面，、分別是、上的中點，直線與平面所成角的正弦值為，點在上移動.

（Ⅰ）證明：無論點在上如何移動，都有平面平面；

（Ⅱ）求點恰為的中點時，二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）推導出AE⊥PA，AE⊥AD，從而AE⊥平面PAD，由此能證明無論點F在PC上如何移動，都有平面AEF⊥平面PAD．

（Ⅱ）以A為原點，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．

（Ⅰ）連接

∵底面為菱形，，

∴是正三角形，

∵是中點，∴

又，∴

∵平面，平面，

∴，又

∴平面，又平面

∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵平面，

∴就是與平面所成的角，

在中，，即，

設，則，得，

又，設，則，

所以，

從而，∴，

則，，，，，

，，

所以，，，

設是平面一個法向量，則

取，得

又平面，∴是平面的一個法向量，

∴

∴二面角的余弦值為.