Question

【題目】已知函數，又恰為 的零點.

(1)當時，求的單調區間；

(2)當時，求證

Answer 1

【答案】（1）單減區間為（0，），（，+∞），單增區間為（）；(2)見解析.

【解析】

（1）對函數f（x）求導數，利用a的取值范圍，結合導數寫出f（x）的單調區間；

（2）由g（x1）＝2lnx1﹣x12﹣(1-b)x1＝0，g（x2）＝2lnx2﹣x22﹣(1-b)x2＝0，通過兩式相減，整理化簡可得1-b（x2+x1），再代入計算可得g′（）[2ln]，然后換元，構造函數，根據導數和函數的最值即可證明.

（1）函數f（x）＝，；

∴f′（x）＝2ax+（）（x＞0），

因為，f′（x）＝0或，且，

∴當時，則f（x）的單減區間為（0，），（，+∞），單增區間為（）；

(2)當時，g(x)=2lnx--x+bx，

∴g′（x）(1-b)﹣2x.

∵x1，x2（x1＜x2）是g（x）的兩個零點，

∴g（x1）＝2lnx1﹣x12﹣(1-b)x1＝0，g（x2）＝2lnx2﹣x22﹣(1-b)x2＝0，

兩式相減可得2ln（x22﹣x12）﹣(1-b)（x2﹣x1）＝0，

∴1-b（x2+x1），

∵g′（x）(1-b)﹣2x，

∴g′（）（x2+x1）﹣[（x2+x1）][2ln][2ln]，

不妨設設t＝ln1，構造函數h（t）＝lnt，

則h′（t）0，

∴h（t）在（1，+∞）上是增函數，

∴h（e）＞h（1）＝0，

∵0，

∴g′（）＜0，又,

∴.