Question

【題目】已知中心在原點的橢圓C的一個頂點為，焦點在x軸上，右焦點到直線的距離為．

求橢圓的標準方程；

若直線l：交橢圓C于M，N兩點，設點N關于x軸的對稱點為點與點M不重合，且直線與x軸的交于點P，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由題意可知，橢圓是焦點在x軸上的橢圓，并求得b，再由點到直線的距離公式求得c，由隱含條件求得a，則橢圓方程可求；

聯立直線方程與橢圓方程，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系求得M，N的縱坐標的和與積，再求出P的坐標，寫出三角形面積公式，利用基本不等式求最值．

解：依題意可設橢圓方程為，．

設右焦點，

由題設條件：，解得，

．

故所求橢圓方程為：；

設，，

聯立，得．

，，

由題設知，，直線的方程為．

令，得．

點P坐標為．

．

當且僅當，即時等號成立．

的面積的最大值為1．