Question

【題目】如圖1，在矩形中，，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，將四邊形，分別沿，折起，使平面平面，平面平面，如圖2所示，是上一點(diǎn)，且.

（1）求證：；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）結(jié)合平面圖形的性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理可得平面，則，再由面面垂直證明線面垂直，進(jìn)而可得，利用勾股定理可得，從而可得結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，平面，在上取點(diǎn)，使得，連接，可證明平面，此時(shí).

（1）折疊前，

所以，又，

所以，

因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面 ，，所以

所以

由（1）得，所以

在梯形中，易得，，所以，

，所以.

（2）

當(dāng)時(shí)，.

在上取點(diǎn)，使得，連結(jié)，

所以

又，所以，

，，

是平行四邊形，所以，

此時(shí)

所以當(dāng)時(shí)，