Question

【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）當時，，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）求出的導函數，令，求解三角不等式即可得到函數的單調增區間；

（2）構造函數，通過分類討論，利用導數求的最小值，只需即可.

（1）因為，

故可得.

令，即，

則，

解得

故的單調增區間為.

（2）不妨令，

則，，

令，則，

故在區間上單調遞增，又，

故.

①當時，，

則在區間上單調遞增，

故，

則在區間上成立，滿足題意；

②當時，在區間上有實根，

因為在區間上單調遞增，

則在區間上也單調遞增

故在區間上單調遞減，在上單調遞增，

則存在時，，

不滿足題意.

③當時，

則在區間上單調遞減，

故，

不滿足題意.

綜上所述：實數的取值范圍為.