Question

【題目】已知a∈R，命題p：“x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．

（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；

（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （﹣∞，1] (2) a＞1或﹣2＜a＜1

【解析】分析：第一問由于命題，令，只要時，即可；第二問由第一問可知，當命題為真命題時，，命題為真命題時，，解得的取值范圍，由于命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，可知命題p與命題q必然一真一假，解出即可.

詳解：（1）∵命題p：“x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，

根據題意，只要x∈[1，2]時，f（x）min≥0即可，

也就是1﹣a≥0，解得a≤1，

∴實數a的取值范圍是（﹣∞，1]；

（2）由（1）可知，當命題p為真命題時，a≤1，

命題q為真命題時，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．

∵命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，

∴命題p與命題q必然一真一假，

當命題p為真，命題q為假時，，

當命題p為假，命題q為真時，，

綜上：a＞1或﹣2＜a＜1．