Question

【題目】如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔助圓”．過橢圓第四象限內一點M作x軸的垂線交其“輔助圓”于點N，當點N在點M的下方時，稱點N為點M的“下輔助點”．已知橢圓上的點的下輔助點為（1，﹣1）．

（1）求橢圓E的方程；

（2）若△OMN的面積等于，求下輔助點N的坐標；

（3）已知直線l：x﹣my﹣t＝0與橢圓E交于不同的A，B兩點，若橢圓E上存在點P，使得四邊形OAPB是對邊平行且相等的四邊形．求直線l與坐標軸圍成的三角形面積最小時的m2+t2的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）（，） 或（，）；（3）3．

【解析】

（1）由橢圓過的點的坐標和輔助圓x2+y2＝a2過的坐標，代入可得a，b的值，進而求出橢圓的方程；

（2）設N的坐標和M的坐標，代入橢圓和輔助圓求出N，M的坐標的關系，進而求出△OMN的面積S△OMNx0（y1﹣y0），則x0y1和，y12＝1，聯立求出下輔助點N的坐標；

（3）設A，B的坐標將直線AB的方程與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，求出AB的中點坐標，因為四邊形OAPB是對邊平行且相等，即四邊形OAPB恰好為平行四邊形，所以．所以三角形OAB面積為，當且僅當m2＝2，t2＝1時取等號，進而可得m2+t2的值為3．

（1）因為橢圓E：1，過點（1，），輔助圓x2+y2＝a2過（1，1），所以可得a2＝12+（﹣1）2＝2，

所以橢圓的實半軸長的平方a2＝2，

所以1，解得：b2＝1，

∴橢圓E的方程為：y2＝1；

（2）設點N（x0，y0），（y0＜0），則由題意可得點M（x0，y1），（y1＜0），將兩點坐標分別代入輔助圓方程和橢圓方程可得，x02+y02＝2，y12＝1，

故y02＝2y12，即y0，

又S△OMNx0（y1﹣y0），則x0y1

聯立，可解得或，∴下輔助點N 的坐標為（，） 或（，）；

（3）由題意可設A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯立整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2＝0，

則△＝8（m2+2﹣t2）＞0．

根據韋達定理得，

因為四邊形OAPB是對邊平行且相等，即四邊形OAPB恰好為平行四邊形，

所以．所以，

因為點P在橢圓E 上，所以，

整理得，即4t2＝m2+2，

在直線l：x﹣my﹣t＝0中，由于直線l與坐標軸圍成三角形，則t≠0，m≠0．

令x＝0，得，令y＝0，得x＝t．

所以三角形OAB面積為，

當且僅當m2＝2，t2＝1時，取等號，此時△＝24＞0．且有m2+t2＝3，

故所求m2+t2 的值為3．