Question

【題目】如圖，四邊形的兩條對角線相交于，現(xiàn)用五種顏色（其中一種為紅色）對圖中四個三角形進行染色，且每個三角形用一種顏色圖染.

（1）若必須使用紅色，求四個三角形中有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù)；

（2）若不使用紅色，求四個三角形中所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù).

Answer 1

【答案】（1）144（2）種

【解析】試題分析：（1）分兩種情況： 同時染紅色， 同時染的不是紅色，然后根據(jù)分類計數(shù)加法原理可得結(jié)果；（2）分三種情況：一共使用了四種顏色，使用了三種顏色，使用了兩種顏色，然后根據(jù)分類計數(shù)加法原理可得結(jié)果.

試題題解析：（1）同色的相鄰三角形共有種，不妨假設(shè)為，

①若同時染紅色，則另外兩個三角形共有種染色方法，因此這種情況共有種染色方法；

②若同時染的不是紅色，則它們的染色有種，另外兩個三角形一個必須染紅色，所以這兩個三角形共有，因此這種情況共有種染色方法．

綜上可知有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù)為種；

（2）因為不用紅色，則只有四種顏色．

若一共使用了四種顏色，則共有種染色方法；若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在對頂?shù)膮^(qū)域，所以一共有種染色方法；若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組對頂區(qū)域，所以共有種染色方法．綜上可知所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù)為種．