Question

【題目】已知函數f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．

(1)當a＝2時，求函數f(x)的極值點；

(2)若函數f(x)在區間(0，1)上恒有f′(x)＞x，求實數a的取值范圍；

(3)已知a＜1，c1＞0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1，2，…)，證明數列{cn}是單調遞增數列．

Answer 1

【答案】解析

【解析】(1)當a＝2時，f(x)＝x2－2x＋ln(x＋1)，

f′(x)＝2x－2＋＝.

令f′(x)＝0，得x＝±.

當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；

當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減．

當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增．

所以函數f(x)的極大值點為x＝－，極小值點為x＝.

(2)因為f′(x)＝2x－a＋，

由f′(x)＞x，得2x－a＋＞x，

所以由題意知，a＜x＋ (0＜x＜1)恒成立．

又x＋＝x＋1＋－1≥1，當且僅當x＋1＝，即x＝0時等號成立．

所以a≤1.

故所求實數a的取值范圍為(－∞，1]．

(3)證明：①當n＝1時，c2＝f′(c1)＝2c1－a＋.

因為c1＞0，所以c1＋1＞1，又a＜1，

所以c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0，

所以c2＞c1，即當n＝1時結論成立．

②假設當n＝k(k∈N*，k≥1)時結論成立，即ck＋1＞ck＞0，

當n＝k＋1時，

ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0.

所以ck＋2＞ck＋1，即當n＝k＋1時結論成立．

由①②知數列{cn}是單調遞增數列．